Urodził się 17 czerwca 1895 r. w Krzynowłodze Wielkiej w rodzinie ziemiańskiej. W 1914 r. zdał maturę w Średniej Szkole Handlowej we Włocławku. Rok później rozpoczął studia na Wydziale Elektrotechnicznym Politechniki Warszawskiej. Przerwał je, wstępując w 1918 r. ochotniczo do Wojska Polskiego. Otrzymał przydział do Sekcji Radiotelegraficznej Ministerstwa Spraw Wojskowych, następnie zadanie szkolenia oficerów artylerii w dziedzinie radiotelegrafii. W styczniu 1921 r. wrócił na uczelnię. Uzyskując dyplom inżyniera elektryka w 1922 r. znalazł się w grupie pierwszych absolwentów Wydziału Elektrotechnicznego PW. Po odbyciu praktyki zawodowej w czeskiej elektrowni w Morawskiej Ostrawie oraz służby wojskowej w pułku łączności w Zegrzu, w 1924 r. w randze porucznika przeszedł do rezerwy i rozpoczął pracę zawodową. Został początkowo inżynierem ruchu i eksploatacji w Elektrowni Okręgowej w Zagłębiu Krakowskim Sp. Akc. w Sierszy Wodnej koło Trzebini, potem był kierownikiem zakładu rozdzielczego sieci elektrycznych, prokurentem, wreszcie (1930-1936) zastępcą dyrektora. Od 1925 r. prowadził badania w dziedzinie sieci i urządzeń elektrycznych oraz elektryfikacji. Odbył w tym celu podróże naukowe do Czechosłowacji, Austrii, Włoch, Szwajcarii i Niemiec. Owocem tych badań była obszerna książka, pierwsza z tej dziedziny w Polsce, pt. „Sieci elektryczne i współpraca elektrowni”, wydana w 1936 r. przez Stowarzyszenie Elektryków Polskich (SEP).
W 1935 r. Adolf Morawski rozpoczął pracę naukowo-dydaktyczną na Politechnice Warszawskiej. W grudniu 1936 r. przeniósł się na stałe do Warszawy. Rozpoczął pracę jako stały doradca techniczny w Fabryce Aparatów Elektrycznych K. Szpotański i S-ka. 4 października 1937 r. został mianowany profesorem nadzwyczajnym PW i objął Katedrę Urządzeń Elektrycznych, którą kierował do 1939 r.
Prof. Morawski działał w wielu organizacjach społecznych, technicznych i gospodarczo-przemysłowych. Był też doradcą, rzeczoznawcą i konsultantem technicznym wielu przedsiębiorstw przemysłowych oraz instytucji, początkowo na terenie Górnego Śląska, a od 1936 r. w Warszawie. Na początku 1938 r. został powołany z ramienia Ministerstwa Przemysłu i Handlu na stanowisko kierownika Komisji Technicznej budowy nowej elektrowni w Nisku na terenie tzw. Centralnego Okręgu Przemysłowego. Na początku 1939 r. został mianowany przewodniczącym podkomisji Polskiego Komitetu Energetycznego, która miała za zadanie opracowanie generalnego projektu elektryfikacji Polski na najbliższe dziesięciolecia.
W końcu sierpnia 1939 r. prof. A. J. Morawski został zmobilizowany do wojska i wcielony do pułku łączności. Wziął udział w kampanii wrześniowej 1939 r. głównie na wschodnich terenach Polski. Internowany przez Armię Czerwoną, został osadzony w obozie jenieckim w Kozielsku i zamordowany w kwietniu 1940 r. w Katyniu.
W 1986 r. na ścianie kościoła św. Boromeusza na Cmentarzu Powązkowskim w Warszawie została umieszczona tablica z jego nazwiskiem. W 2007 r. mianowany został pośmiertnie na stopień kapitana. Awans został ogłoszony w dniu 9 listopada 2007 r., w Warszawie, w trakcie uroczystości "Katyń Pamiętamy – Uczcijmy Pamięć Bohaterów".